ご質問内容から、不服申立てをしても結果が覆る可能性は低いでしょう。
障害の程度が軽いため不支給となっている場合などは、不服申立てをすることで結果が覆る可能性はあります。
しかしご質問者様の場合、保険料納付要件を満たしていないため不支給となっていることが拝察されます。
保険料の納付状況については後日変えることはできませんので、初診日の時点で保険料納付要件を満たしていないのであれば、受給資格はありません。
申請する前に受給資格があると言われたとのことですが、おそらく確認ミスでしょう。
市役所の窓口は受付をする機関であり、審査をするところではありません。
受付で受給資格があると言われたことを理由に不服申立てをしても、結果が覆ることはないでしょう。
保険料納付要件とは
初診日の前日において以下の1または2を満たしている必要があります。
- 初診日のある月の前々月までの公的年金の加入期間の2/3以上の期間について、保険料が納付または免除されていること
- 初診日において65歳未満であり、初診日のある月の前々月までの1年間に保険料の未納がないこと
※ただし、20歳前の年金制度に加入していない期間に初診日がある場合は、納付要件はありません。
(本回答は2021年12月現在のものです。)
障害年金の申請について
ご自身で書類をしっかり準備したつもりが、症状に合った等級が認められないケースや、不支給となるケースが見受けられます。
このようなことを防ぐためには専門知識が必要となりますが、そうなると社労士に相談するか関連書籍を参照しなければなりません。
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審査を受ける機会は審査請求、再審査請求を含めて3回あります。
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